Определение двойного интеграла
Понятие интеграла может быть расширено на функции двух и большего числа переменных. Рассмотрим, например, функцию двух переменных z = f (x,y). Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как
где R - область интегрирования в плоскости Oxy. Если определенный интеграл
от функции одной переменной
выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости Oxy в области интегрирования R (рисунок 1).
Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник
Рис.1 Рис.2 (рисунок 2). Используя ряд чисел { x0, x1, ..., xm }, разобьем отрезок [a, b] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение
Аналогично, пусть множество чисел
является разбиением отрезка [c, d] вдоль оси Oy, при котором справедливы неравенства
Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением
называется выражение
где
- некоторая точка в прямоугольнике
и
. Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области
определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δxi и Δyj стремятся к нулю:
Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник
, покрывающий область R (рисунок 3), и введем функцию g (x,y), такую, что
Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как
![]()
Рис.3 Рис.4 Рис.5 Пример. Найдем
, где
- модуль радиус-вектора
.
и
.
По формуле 5 из этого равенства следует:
Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции
.
Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля
, т.е. поверхность, задаваемую уравнением
. Предположим, что
- непрерывно дифференцируемая функция от
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке
, лежащей на этой поверхности, имеет вид .
Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому
- нормаль к касательной плоскости в т.
и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.
Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Пусть
- векторное поле,
- двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль
. Назовем
- потоком вектора
через поверхность
в указанную сторону.
На главную |