Контрольная. Полярные, параметрические и декартовы координаты

Площадь в полярных координатах

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями  и .  Подпись:  
                 Рис.3.3
     

        Р е ш е н и е. Первая окружность лежит в правой полуплоскости, проходит  через полюс , касаясь вертикальной  прямой. Вторая окружность лежит в верхней полу­плоскости, проходит через полюс   , касаясь горизонтальной прямой. Следовательно, полюс есть точка пересечения окружностей. Геометрический смысл дифференциала Пусть функция z=f(x;y) дифференцируема в точке (х0;у0). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением Другая точка пересечения окруж­ностей  В находится из уравнения , откуда  В (arctg, ). Из рис. 3.3 видно, что искомая площадь S равна сумме площадей сегментов ОАВО и ОСВО, причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . При этом дуга ВАО описывается концом полярного радиуса  первой окружности при , а дуга ОСВ описывается концом полярного радиуса   второй окружности при . Поэтому Следовательно, .


На главную